理智's 마당

최근 개봉한 영화 중에 ‘21’이라는 영화가 있습니다. 미국 MIT의 수재들이 카드 카운팅으로 블랙잭 게임을 하여 라스베가스에서 수백만 달라를 딴다는 실화를 바탕으로 한 영화입니다.

영화에 대해서는 할 말이 많지만 일단 접어두고, 이 영화에서 MIT 교수가 수학 천재인 주인공을 알아보는 장면에서 등장하는 퀴즈 하나가 오늘 글의 주제입니다.

미국에는 가족오락관 비슷한 “Let's Make a Deal”이라는 프로그램이 있답니다. 이 프로그램의 진행자 이름이 ‘몬티홀’인데, 몬티홀은 이 프로그램에서 3개의 문 중 하나엔 최고급 승용차를, 나머지 두개엔 염소를 갖다 두고, 출연자가 그 중 하나의 문을 선택하면 그 문이 아닌 다른 2개의 문 중 염소가 있는 문을 열어 보여준 후, 출연자에게 선택을 바꾸겠느냐고 질문을 했다고 합니다. 그런데 대다수의 출연자들이 선택을 바꾸었다가 당할 실망보다는 선택을 유지했을 때 당할 실망이 적다는 감정적인 판단으로 결정을 바꾸지 않은 경우가 많았다는군요(심리학에서 말하는 인지부조화(cognitive dissonance) 이론을 참고하세요). 그러나 이에 대하여 바꾸는 게 확률상 낫다, 아니다를 두고 전국적으로 논란이 벌어졌고, 결국 역사상 최고의 IQ보유자로 기네스북에 기록된 ‘마릴린 사반트’라는 여자가 두배의 확률로 바꾸는 것이 유리하다는 해설을 했지만 그 이후에도 사반트의 해설에 이의를 제기하는 사람들이 적지 않았습니다.

그럼 우선 골치 아프겠지만 먼저 좀 어렵게 답을 해설해보겠습니다.

만일 출연자가 1번 문을 선택했을 때 1번 문에 자동차가 있을 확률은 1/3입니다. 나머지 2, 3번 문들의 확률도 역시 1/3이죠. 하지만 진행자가 3번 문을 열었는데 거기에 염소가 있었다면 그 이후 2번 문에 자동차가 있을 확률은 어떻게 될까요? 여기서 꼭 기억할 것은, 가능한 모든 경우의 확률을 합치면 반드시 1이 되어야 한다는 것이 수학에서의 절대명제라는 것입니다. 따라서 1번 문과 2번 문의 확률을 합하면 반드시 1이 되어야 하므로 2번 문에 자동차가 있을 확률은 1번 문의 확률을 제외한 2/3이라는 것입니다.

이러한 해설에 수학 좀 한다는 분들도 많은 이의를 제기하십니다. 그럼, 만일 출연자가 문을 선택하지 않은 상황에서 1번 문을 마음속에 찍고 있었는데, 진행자가 먼저 3번 문을 열어 두고 1, 2번 문 중에서 선택을 하라고 하면 그 때는 1, 2번 문의 확률이 각 1/2이므로 1번을 선택하든, 2번을 선택하든 마찬가지 아니냐? 그런데 마음 속으로 선택한 것이 아니라는 이유만으로 그 후의 확률이 변한다는 것은 납득할 수 없다는 게 요지입니다.

그래서 이렇게 두 개의 답이 가능한 몬티홀의 문제를 한동안 몬티홀의 딜레마, 혹은 몬티홀의 패러독스라고 부르는 사람들도 있었습니다. 하지만 잘 생각해보시면 답은 하나입니다. 여기서는 다음 두가지 전제가 매우 중요합니다.

1. 출연자가 이미 선택한 문을 진행자는 알고 있고, 진행자는 이 문을 제외한 나머지 2개의 문 중 하나를 연다. 

2. 진행자는 선택된 문 외의 2개의 문 중에서 어느 문에 염소가 있는지 이미 알고 있다.

이러한 두개의 요건 때문에 출연자가 마음속으로 하나의 문을 선택한 경우 및 게임의 내용을 모르는 누군가가 갑자기 무대에 뛰어들어 2개의 문 중 하나를 여는 경우와는 확연히 다른 결과가 나오는 겁니다. 영화 속에서도 아주 잠깐 언급이 되는데, 이는 게임의 전제가 달라진 것이고, 달리 말하면 변수가 바뀐 것이죠.

그래도 이해가 잘 안 가시면, 이번엔 쉽게 그림으로 설명해보겠습니다.

1. ○ × ×

2. × × ○

3. × ○ ×

○를 자동차라고 하면 문 3개에 자동차가 있는 구조는 위 3가지 경우 뿐입니다. 그렇다면 출연자가 1번 문을 선택했을 경우 위 3가지 경우 중 1번 경우만이 출연자가 선택을 바꾸지 않았어야 하는 경우이고, 2, 3번 경우는 출연자가 선택을 바꾸었어야만 하는 경우가 됩니다. 왜냐하면 2번 경우에 진행자는 2번 문을, 3번 경우엔 진행자가 3번 문을 열었을 테니까요.

따라서 답은 언제나 바꾸는 것이 두 배로 당첨확률이 높다는 것입니다.

제가 길게 설명을 했지만, 이 몬티홀의 퀴즈는 퀴즈 좀 좋아한다는 사람이나 자연계, 특히 수학을 전공한 사람들은 모를 수가 없는 퀴즈입니다. 그런데 영화 속에서는 MIT 4학년이나 된 학생에게 이걸 질문해놓고 그 학생이 답을 맞췄다는 이유로 담당 교수가 그를 당장 카드카운팅 팀에 스카우트합니다. 이에 대해 저와 아주 가까운 어느 기자 선배는 자기 블로그에 "영문과 4학년 학생에게 햄릿의 결말을 질문해 놓고 답을 하자 ‘오~~정말 대단한 놈인걸’ 하며 감탄하는 것과 똑같다“고 비아냥거리더군요.

하여간 수학에는 이런 재밌는 퀴즈들이 참 많이 있습니다. 저는 가끔 사건이 해결 안되거나 판결문이 안 써지면 음악을 듣거나 영화를 보며 기분을 전환하기도 하지만, 때로는 이런 수학 퀴즈들을 풀며 다른 방향으로 머리를 쓸 때 기분이 개운해지는 경우도 종종 있답니다. 여러분들도 함 시도해보세요^^.

설마 제가 변태인 건 아니겠죠?^^;;.